Основные свойства функции y x 2. Основные понятия и свойства функций

Убывающая функция- если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f( х 1 )>f( х 2 )

Способы задания функции

¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у =f(x) , где f(x)- íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .

Cвойства функции y=kx :

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b , где k иb - действительные числа. Если в частности, k=0 , то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0 , то получаем прямую пропорциональность y=kx .

Свойства функции y=kx+b :

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая .

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k /х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k / x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k / x - нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком функции является гипербола .

5)Функция y=x 2

Свойства функции y=x 2:

2. y=x 2 - четная функция

3. На промежутке функция убывает

Графиком функции является парабола .

6)Функция y=x 3

Свойства функции y=x 3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3 - нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x -n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2 :

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y= Ö х

Свойства функции y= Ö х :

1. Область определения - луч ; неравенству a <x <b – интервалом и обозначается () ; неравенствам и - полуинтервалами и обозначаются соответственно и . Также часто приходится иметь дело с бесконечными интервалами и полуинтервалами: , , , и . Все их удобно называть промежутками .

Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a .

Понятие функции. Основные свойства функции

Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y =f (x ). При этом x называют независимой переменной или аргументом , а y – зависимой переменной или функцией , а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.

Существует несколько способов задания функций.

1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y =f (x ).

2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y =f (x ).

3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x ; y ) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y =f (x ).

4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.

Выделяют следующие основные свойства функций.

1 Четность и нечетность Функция y =f (x ) называется четной , если для любых значений x из области ее определения выполняется f (–x )=f (x ), и нечетной , если f (–x )=–f (x ). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y =f (x ) называется функцией общего вида . График четной функции симметричен относительно оси Oy , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2 Монотонность Функция y =f (x ) называется возрастающей (убывающей ) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 . Тогда функция возрастает на промежутке X , если f (x 2)>f (x 1), и убывает, если f (x 2)<f (x 1).

Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей ), если при x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 выполняется неравенство f (x 2)≥f (x 1) (f (x 2)≤f (x 1)).

Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.

3 Ограниченность Функция y =f (x ) называется ограниченной на промежутке X , если существует такое положительное число M >0, что |f (x )|≤M для любого x ÎX . В противном случае функция называется неограниченной на X .

4 Периодичность Функция y =f (x ) называется периодической с периодом T ≠0, если для любых x из области определения функции f (x +T )=f (x ). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.

Функция называется явной , если она задана формулой вида y =f (x ). Если функция задана уравнением F (x , y )=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y , то ее называют неявной .

Пусть y =f (x ) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y . Поставим в соответствие каждому y ÎY единственное значение x ÎX , при котором f (x )=y .Тогда полученная функция x =φ (y ), определенная на множестве Y с областью значений X , называется обратной и обозначается y =f –1 (x ). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .

Пусть функция y =f (u ) есть функция переменной u , определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою очередь является функцией u =φ (x ), определенной на множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция y =f (φ (x )) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

• степенную функцию y =x n ; y =x – n и y =x 1/ n ;
• показательную функцию y =a x ;
• логарифмическую функцию y =log a x ;
• тригонометрические функции y =sin x , y =cos x , y =tg x и y =ctg x ;
• обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y =arccos x , y =arctg x и y =arcctg x .

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными .

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином)

· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной . К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение

Показательная функция - это обобщение произведения n чисел, равных a :
y(n) = a n = a·a·a···a ,
на множество действительных чисел x :
y(x) = a x .
Здесь a - фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции .
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a .

Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,... , показательная функция является произведением x множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : .
При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел () :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

, , , , .

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем более сильное убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Если , то
.
Если , то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :

Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3 5 x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
f(z) = a z
где z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда


.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n - целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Разложение в ряд

.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.