Главная » Военные » Закон распределения вейбулла имеет. Распределение вейбулла

Закон распределения вейбулла имеет. Распределение вейбулла

Распределения вероятностей случайных величин ; характеризуется функцией распределения

где - параметр формы кривой распределения, - параметр масштаба, - параметр сдвига. Семейство распределений (*) названо по имени В. Вейбулла , впервые использовавшего его для аппроксимации экспериментальных данных о прочности стали на разрыв при усталостпых испытаниях и предложившего методы оценки параметров распределения (*). В. р. принадлежит к асимптотич. распределению третьего типа крайних членов вариационного ряда. Оно широко используется для описания закономерностей отказов шарикоподшипников, вакуумных приборов, элементов электроники. Частными случаями В. р. являются экспоненциальное (р=1) и рэлеевское (р=2) распределения. Кривые функции распределения (*) не принадлежат семейству распределений Пирсона. Имеются вспомогательные таблицы для вычислений функции распределения Вейбулла (см. ). При квантиль уровня qравна

где - гамма-функция; вариации, асимметрия и эксцесс не зависят от , что облегчает их табулирование и создание вспомогательных таблиц для получения оценок параметров. При В. р. унимодально, равна , а функция опасности отказов не убывает. При функция монотонно убывает. Можно построить так. наз. вероятностную бумагу Вейбулла (см. ). На ней трансформируется в прямую, при образ имеет вогнутость, а при - выпуклость. Оценки параметров В. р. по методу квантилей приводят к уравнениям существенно более простым, чем по методу максимального правдоподобия. Совместная асимптотич. эффективность оценок параметров и (при ) по методу квантилей максимальна (и равна 0,64) при. использовании квантилей уровня 0,24 и 0,93. Функция распределения (*) хорошо аппроксимируется функцией распределения логнормального распределения

( - функция распределения нормированного нормального распределения,):

Лит :Weibull W., A statistical theory of the strength of materials, Stockh., 1939; Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д., Математические методы в теории надежности, М., 1965; Jоhnsоn L., The statistical treatment of fatigue experiments, Amst., 1964; Крамер Г Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М, 1975. Ю. К. Беляев, Е. В. Чепурин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ВЕЙБУЛЛА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в других словарях:

распределение - 3.38 распределение (allocation): Процедура, применяемая при проектировании системы (объекта) и направленная на распределение требований к значениям характеристик объекта по компонентам и подсистемам в соответствии с установленным критерием.… …

распределение Вейбулла - 1.48. распределение Вейбулла; распределение экстремальных значений типа III Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с функцией распределения: где х ³ а; y = (x a)/b; а параметры ¥ < a < +¥, k > 0, b > 0. Примечание … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Плотность вероятности Функция распределения Обозначение {{{notation}}} Параметры коэффициент масштаба … Википедия

Это распределение чаще всего используется для исследования интенсивности отказов для периодов приработки и старения.

Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких, как силовые трансформаторы, КЛ, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Прочность изоляции в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей возможности образования остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т. е. неоднородностей.

Однородность и монолитность структуры изоляции и ее высокая теплопроводность исключают возникновение повышенных местных нагревов, неизбежно приводящих к увеличению степени неоднородности электрической прочности. Разрушение изоляции при функционировании элемента происходит в основном в результате нагревания токами нагрузок и температурных воздействий внешней среды. Механические нагрузки (вибрации, деформации, удары и др.) также приводят к разрушению изоляции.

Среди перечисленных факторов, определяющих срок службы изоляции указанных элементов электрических сетей, одним из основных факторов, является тепловое старение. На основании экспериментальных исследований было получено известное «восьмиградусное» правило, согласно которому повышение температуры изоляции, выполненной на органической основе, на каждые восемь градусов в среднем вдвое сокращается срок службы изоляции. В настоящее время в зависимости от класса применяемой изоляции используются шести- , восьми- , десяти- и двенадцатиградусное правила.

Срок службы изоляции в зависимости от температуры нагревания:

T и = А е-γς, (5.43)

где А - срок службы изоляции при ς = 0- некоторая условная величина;

γ- коэффициент, характеризующий степень старения изоляции в зависимости от класса;

ς - температура перегрева изоляции.

Другим важным фактором, вызывающим интенсивное старение изоляции, является обусловленная электрическими процессами при резких изменениях тока, например при резкопеременной нагрузке силового трансформатора, набросах и сбросах нагрузки, сквозных токах КЗ. Механические характеристики прочности изоляции также зависят от температуры. Предел механической прочности изоляции быстро снижается по мере ее нагревания, но в то же время она становится более эластичной.

При воздействии переменных неблагоприятных условий неоднородности материала увеличиваются, например микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.). Т.о., число неблагоприятных воздействий, или срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения минимального числа из числа независимых СВ - чисел неблагоприятных воздействий, соответствующих различным по размерам неоднородностям, т. е. если Ти - время безотказной работы всей изоляции, а Тиi - время безотказной работы i-го участка (i = 1, 2,..., n), то:

T и = min (T и1,T и2,…,T иn). (5.44)

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти вероятность распределения минимальных времен безотказной работы совокупности всех участков. Причем наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют произвольный характер, но вид законов распределения одинаков, т. е. резковыраженных отличающихся участков нет.

В смысле надежности участки такой системы соответствуют последовательному соединению. Поэтому функция распределения времени безотказной работы такой системы:

q c (t) = 1 – n. (5.45)

Далее математическими преобразованиями выводится формула, при которой основным параметром является «порог чувствительности», т. е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, t0) (в частном случае t0 = 0). Если распределение не имеет порога чувствительности t0, то закон распределения называется распределением Вейбулла:

где с > 0 – некоторый постоянный коэффициент;

α – параметра распределения.

Этот закон распределения довольно часто используется при аппроксимации распределения времени безотказной работы систем с конечным числом последовательно (в смысле надежности) соединенных элементов (длинные КЛ со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения:

(5.47)

При α = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (см. рисунок 5.12).

Рисунок 5.12 - Дифференциальная функция распределения времени безотказной работы изоляции по закону

Вейбулла

Рисунок 5.13 - Интенсивность отказов при

распределении по закону Вейбулла

Интенсивность отказов при распределении плотности по закону Вейбулла (см. рисунок 5.13):

λ(t) = αctα-1. (5.48)

Интенсивность отказов для этого закона в зависимости от параметра распределения может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться.

Как видно из рисунков 5.12 и 5.13 экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона Вейбулла при α = 1 (λ = const). При α = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадет с законом Рэлея, при α »1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

При соответствующем подборе параметра α можно с помощью закона Вейбулла описывать надежность и стареющих элементов (период старения и износа), у которых λ(t) возрастает, и надежность элементов, имеющих скрытые дефекты (период приработки), у которых λ(t) убывает с течением времени.

Математическое ожидание (среднее время) безотказной работы и дисперсия при распределении по закону Вейбулла:

T и.ср = Г(1+1/α) c-1/α, (5.49)

Д(Tи ) = c-2/α [Г(1+2/α) – Г2(1+1/α)]. (5.50)

где Г(х ) - гамма-функция .

Это распределение чаще всего используется при исследовании интенсивности отказов для периодов приработки и старения. На примере распределения сроков службы изоляции некоторых элементов электрической сети подробно рассмотрены физические процессы, приводящие к старению и отказу изоляции и описываемые распределением Вейбулла.

Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких как силовые трансформаторы и кабельные линии, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Основной характеристикой изоляции электромеханических изделий является ее электрическая прочность, которая в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей образование остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т.е. неоднородностей.

Рассмотрев два основных фактора (тепловое старение и механическая нагрузка), влияющих па срок службы изоляции, которые к тому же тесно связаны между собой, можно сделать вывод, что как усталостные явления в изоляции, так и тепловое ее старение в значительной степени зависят от качества изготовления и материала электротехнического изделия, от однородности материала изоляции, обеспечивающей отсутствие местных нагревов (так как трудно предположить, что откажет вся изоляция, т.е. пробой произойдет по всей площади изоляции).

Микротрещипы, расслоения и другие неоднородности материала случайно распределены в отношении своего положения и своей величины по всему объему (площади) изоляции. При воздействии переменных неблагоприятных условий как теплового, так и электродинамического характера неоднородности материала увеличиваются: например, микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Естественно предположить, что число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.).

Следовательно, число неблагоприятных воздействий, определяющее срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения минимальной случайной величины из совокупности независимых случайных величин, соответствующих различным по размерам неоднородностям:

где Г и - время безотказной работы всей изоляции; Г и, - время безотказной работы /"-го участка (/" = 1,2, п).

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти закон распределения минимального времени безотказной работы совокупности всех участков. Наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют различный характер, но вид законов распределения одинаков, т.е. резко выраженных отличий у участков нет.

С позиций надежности участки такой системы соответствуют последовательному соединению. Функция распределения времени безотказной работы такой системы из п участков, соединенных последовательно:

Рассмотрим общий случай, когда распределение Р(г) имеет так называемый «порог чувствительности», т.е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, /о) (в частном случае /о может быть равно 0). Очевидно, что функция Р(1ц + Д/) > 0 - всегда неубывающая функция аргумента.

Для системы можно получить асимптотический закон распределения времени безотказной работы:

Если распределение не имеет порога чувствительности / 0 , то закон распределения будет иметь вид

где с - некоторый постоянный коэффициент, с > 0; а - показатель Вейбулла.

Этот закон называется распределением Вейбулла. Он довольно часто используется при аппроксимации распределения времени безотказной работы системы с конечным числом последовательно (с точки зрения надежности) соединенных элементов (протяженные кабельные линии со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения времени безотказной работы

При а = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (рис. 3.3).

Для интенсивности отказов при плотности распределения по закону Вейбулла получим

Интенсивность отказов для этого закона в зависимости от параметра распределения а может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться (рис. 3.4).

При а = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадает с законом Рэлея, а при а » 1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

Рис. 3.3.

Рис. 3.4.

Как видно из рис. 3.3 и 3.4, экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона Вейбулла при а = 1 (А. = const).

Закон Вейбулла очень удобен для вычислений, но требует эмпирического подбора параметров А. и а для имеющейся зависимости А.(/).

где Г(х) - гамма-функция, определяемая по таблице Г(.г) (см. прил. 2); с - некоторый постоянный коэффициент, определяющий вероятность появления к элементарных повреждений на интервале времени (0, /)

Это распределение эмпирическое, получено в результате исследования широкого класса распределений сроков службы. Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени., соответствующих трем периодам жизни этих устройств.

Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

где  - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных,  > 0);  - параметр масштаба,

Интенсивность отказов определяется по выражению

(3.1)

Вероятность безотказной работы

(3.2)

а средняя наработки до отказа

(3.3)

Отметим, что при параметре = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при = 2 - в распределение Рэлея.

При 1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при монотонно возрастает (период износа), см. рис. 3.1. Следовательно, путем подбора параметра  можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую  (t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме

3.Экспоненциальное распределение. Используется чаще других распределений, так как типично для сложных объектов, состоящих из многих элементов с распределениями наработки. При постоянстве интенсивности отказов дает простые расчетные формулы. Как было отмечено экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы  = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра  = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

(3.5)

Заменив в выражении величину  величиной 1 / Т 1 ,

получим . (3.6)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т 1 (или постоянную интенсивность отказов ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

4. Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид



где  - параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения ). Его не нужно смешивать со среднеквадратическим отклонением:

Интенсивность отказов равна:

(3.7)

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика (t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

(3.8)

Средняя наработка до отказа

(3.9)

5.Усеченное нормальное распределение. Распределение, полученное из нормального (гауссовского), ограничением положительными значениями.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

где m x ,  x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и  x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

(3.10)

а интенсивность отказов - по формуле

На рис. 3.5 изображены кривые (t), Р(t) и (t) для случая  t  m t , характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления .

4. Гамма-распределение . Распределение Пуассона и гамма распределение рассматриваются во взаимосвязи, поскольку они оба характеризуют одинаковые процессы. Только в первом случае в качестве переменной рассматриваются отказы, а во втором – время. Для гамма - распределения
в – среднее время между отказами;

а - число отказов; Г(а ) – гамма-функция, равная
, когдаа –1 – положительное число.

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений.

Распределение Вейбулла

Двухпараметрическое распределение Вейбулла является более гибким, чем экспоненциальное, которое может рассматриваться как частный случай первого. Плотность распределения Вейбулла

При 1/t0 = и m = 1 уравнение (8) превращается в плотность экспоненциального распределения. Величина 1/t0 определяет масштаб, а m - асимметрию (форму) распределения.

После интегрирования (8) от 0 до t получаем функцию распределения F(t), равную Q(t) :

Следовательно,

Отношение плотности (8) и вероятности (10) даёт интенсивность отказов

Основные графики распределения Вейбулла показаны на рис.4.

Двухпараметрическое распределение Вейбулла обладает исключительной гибкостью при аппроксимации эмпирических распределений и поэтому широко применяется в практических приложениях теории надёжности. Оно используется при описании законов надежности, как на участке приработки, так и при анализе процессов старения и износа.

Средняя наработка на отказ при распределении Вейбулла определяется из условия и равна

Рис.3.4. Графики распределения Вейбулла

где - гамма - функция;

Нормальное распределение

Двухпараметрическое нормальное (гауссово) распределение исключительно широко применяется в практических задачах теории надёжности. Параметрами этого распределения является - математическое ожидание случайной величины и - среднеквадратическое отклонение. Плотность нормального распределения определяется зависимостью

Функция распределения F(x) (рис.3.5) при нормальном законе определяется интегралом от плотности f(x) с пределами интегрирования от - до + .

Случайная величина t как и во всех задачах надёжности имеет смысл наработки объекта и поэтому определена на положительной полуоси чисел, а нормальный закон, как уже отмечалось, определён на всей числовой оси от - до + . В связи с этим в теории надёжности рассматривают усечённый нормальный закон, плотность которого определяется путём умножения (3.13) на постоянный множитель

где, a, b - левая и правая границы усечённого распределения.

F(a),F(b) - значения функций распределения нормального закона на левой и правой границах усечения.

Смысл постоянного множителя с становится ясным при рассмотрении графика плотности нормального распределения, представленного на рис.6.

Рис.5.

Известно, что площадь под кривой плотности распределения всегда должна быть равна единице, то есть в данном случае. Как показано на рис.6 для обеспечения этого условия кривую плотности усечённого нормального закона приходится сдвигать вверх и вправо путём умножения исходной плотности нормального закона на постоянный множитель. Соответственно будут меняться основные параметры: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Расчёты показывают, что при отношении / < 0.5 (коэффициент вариации) постоянный множитель c для усечённо- нормального закона близок к единице. Поэтому во многих практических задачах теории надёжности пользуются параметрами нормального закона распределения случайной наработки объекта до отказа. При этом математическое ожидание отождествляют со средней наработкой до отказа Т0.